تلاشی برای رسیدن به آسمان هفتم

مبحث آمار ومدلسازی در رشته های تجربی و ریاضی هر ساله 2 سوال و در رشته انسانی بیش از دو سوال را در درس ریاضی به خود اختصاص می دهد ، به امید این که هیچ دانش آموزانی درس ریاضی را سفید نگذارد .

انواع اطلاعات :

1. اطلاعات کیفی :

• این اطلاعات با واژه های توصیفی بیان می شوند . مثلا تاحدی ، خیلی ، کم و...
• نقطه ضعف استفاده از این نوع اطلاعات این است که هر کسی ممکن است برداشت و تفسیر شخصی خود را داشته باشد.

1. اطلاعات کمی :

• این اطلاعات با عدد و رقم بیان می شود و قابل اندازه گیری است . مثلا : 20 متر، 5 کیلوگرم و.....
• نقطه قوت استفاده از این است که چون میزان دقیق آنها مهلوم است ف تمام افراد درک واحدی از آنها دارند . تمام افراد درک واحدی از آن ها دارند . در واقع در این اطلاعات « چقدر» و « چه اندازه » کاملا مشخص است .

اندازه گیری :

• تعریف اندازه گیری : اولین گام در رسیدن به اطلاعات عددی ( کمی ) ، اندازه گیری است .
• عوامل مورد نیاز برای اندازه گیری :

1. معیار
2. مقدار

• خطای اندازه گیری
• عواملی بروز خطای اندازه گیری :

1. وسیله اندازه گیری
2. فرد اندازه گیر

• ویژگی های خطای اندازه گیری

1. E  هرگز صفر نمی شود .یعنی همواره خطا داریم .
2. E مقدار کوچکی دارد .
3. E از واحد اندازه گیری کوچکتراست ونمی توان منفی یا مثبت باشد .

مدل سازی :

• تعریف مدل سازی : بیان مسائل به زبان ریاضی را مدل سازی گویند .
• ویژگی های یک مدل خوب :

1. از مفاهیم ساده و ابتدای استفاده شود.
2. به پدیده ی مورد نظر نزدیک باشد .

• انواع مدل :

مدل هارا می توان برحسب ویژگی های متغییر دسته بندی کرد :

• برحسب تعداد متغیر:

1. مدل های یک متغیره :
2. مدل های چند متغیره :

• برحسب توان متغیر:

1. توان 1:
2. توان 2:
3. توان 2 و بیشتر :
4. ضرب دو یا چند e مختلف درهم:

روش های حل مسائل مربوط به مدل سازی و خطای اندازه گیری :

1. هرگز وجود e را فراموش نکنیم .حتی اگر مسئله به آن اشاره نکرده باشد .
2. فرمول مناسب را می نویسیم  ، فرمول های پرکاربرد
   1. : محیط و مساحت : مربع ، مستطیل ، دایره ، مثلث
   2. حجم : مکعب ، مکعب مستطیل ، استوانه ، کره
3. عدد گذاری نکنیم . در فرمول به جای متغیر ( متغیر+ خطا ) بگذاریم.
4. عدد گذاری نکنیم . تمام ضرب و تقسیم ها را انجام می دهیم و e های با توان 2 وبیشتر ونیز چندe مختلف که در هم ضرب شده اند را حذف می کنیم .
5. حالا عدد گذاری می کنیم .

• جامعه :

تعریف : مجموعه ای از افراد واشیا است که در مورد آنها موضوع یا موضوعاتی را مطالعه می کنیم .

• سرشماری :

         تعریف : وقتی تمام اعضای جامعه را مورد مطالعه قرار می دهیم .

• مشکلات سرشماری :

1. وقت گیر بودن
2. گران تمام شدن وپر هزینه بودن
3. دردسترس نبودن همه ی اعضای جامعه
4. امکان از بین رفتن بخشی از جامعه در جریان سرشماری

• اندازه ی جامعه :

تعریف: تعداد اعضای جامعه است .

• نمونه :

  تعریف : نمونه زیر مجموعه ی از جامعه است .پس نمونه ویژگی های جامعه را دارد اما از جامعه کوچکتر است .

• مواردی که نیاز به نمونه گیری داریم :

1. بزرگ بودن جامعه
2. تنوع در جامعه

• ویژگی های یک نمونه خوب :

1. به اندازه کافی بزرگ باشد .
2. تصادفی باشد .
3. بیانگر ویژگی های جامعه باشد.

• نمونه گیری : مهم ترین بخش آمار است .
• اندازه ی نومنه : تعداد اعضای نمونه است .
• داده : نتایج حاصل از اندازه گیری یابررسی نمونه را داده می گویند
• روش های جمع آوری داده :

1. داده های از پیش تعیین شده
2. پرسش
3. مشاهده و ثبت وقایع
4. آزمایش

• متغیر تصادفی  : موضوع یا موضوعاتی است که بررسی  می کنیم .
• انواع متغیر تصادفی : متغیرهای تصادفی را بر حسب قابلیت بیان با اعداد به دو دسته  تقسیم  می کنند .

1. متغیرهای تصادفی کمی  :
   1. کمی گسسته
   2. کمی پیوسته

2. متغیرهای تصادفی کیفی :
   1. کیفی ترتیبی
   2. کیفی ا سمی

دسته بندی : به سه زیر موضوع دسته بندی می شود :

1. دامنه تغییرات  :

نکته  1: طول بازه که متغییر در آن تغییر می کند          R= MAX – MIN

نکته 2 : داده ها باهم برابر  درنتیجه  R= 0

2. مرکز دسته 

انواع فراوانی

• فراوانی مطلق  : تعداد دفعاتی که یک داده تکرار شده  ، تعداد اعضای یک دسته  
•  فراوانی نسبی  : تعداد تکرار یک داده نسبت به کل داده
• فراوانی تجمعی : تعداد داده های کم تر از یک داده ی خالص
• کلید واژه های مهم :

• نسبی
• تجمعی
• درصد

انواع  نمودارها :

1. نمودار میله ای:

• این نمودار بیشتر برای متغییر های کمی گسسته و کیفی استفاده می شود.

1. نمودار مستطیلی :

• این نمودار بیشتر برای متغیرهای کمی پیوسته مناسب است .
• در این نمودار دو ابزار برای مقایسه داریم :

• اگر طول  دسته ها با هم مساوی باشند . ( یعنی عرض مستطیل ها باهم برابرند ) ، معیار مقایسه طول مستطیل هاست .
• اگر طول دسته ها مساوی نباشند ، معیار مقایسه مساحت مستطیل ها خواهد بود .

1. نمودار چندبر فراوانی  :

• این نمودار برای نشان دادن تغییرات بین دو دسته و داخل دسته ها به کار می رود .
• برای رسم نمودار چندبر فراوانی باید در نمودار مستطیلی ، وسط عرض مستطیل ها را مشخص کرده و به هم وصل کنیم .

1. نمودار دایره ای :

• این نمودار را می توان برای تمام انواع متغیرها استفاده کرد .
• برای رسم نمودار دایره ای باید مقدار زاویه ی متناظر با فراوانی هر داده را داشته باشیم

1. نمودار ساقه وبرگ :

• زمانی که  متغییر های ما گسسته باشند وبخواهیم داده ها را در نمودار ببینیم .شکل کلی ان به صورت جدولی است که دو ستون دارد ، ستون سمت چپ ساقه و ستون سمت راست برگ نام دارد.

شاخص های مرکزی :

1. مد :

• داده ایست که بیشترین فراوانی را دارد
• مد داده است ؛ نه فراوانی
• ویژگی های مد :

• در نمودارهایی که فراوانی را برحسب داده ها نشان می دهد ، مد ،  قله ی نمودار است .
• مد منحصر به فرد نیست ، می توانیم بیش از یک مد داشته باشیم .
• مد حتما متلق به جامعه نیست ؛ حداقل با یکی از داده ها برابر است .
• مد می تواند وجود نداشته باشد ؛ گاهی اتفاق می افتد که مد نداشته باشیم . مثل زمانی که فراوانی تمام داده ها یکی باشد .
• موارد استفاده :  نظرسنجی ها ، رآی گیری ها و انتخابات مهم ترین مواردی هستند که در آن ها از مد استفاده می شود .

1. میانه :

• داده ی که نصف داده ها از آن کم تر و نصف داده ها از آن بیشتر هستند ، یعنی همان داده  ی وسط .
• اگر تعداد داده ها فرد باشد ، داده ی  وسط ، میانه است .
• وقتی تعداد داده ها زوج باشد ، دو داده در وسط داریم : دراین حالت میانگین دو داده ی وسط میانه است .
• ویژگی های میانه :

• میانه منحصربه فرد است ؛ فقط و فقط یک مقدار برای میانه داریم .
• میانه می تواند متعلق به جامعه نباشد ؛ زمانی که تعداد داده ها زوج باشد ، ممکن است میانه با هیچکدام از داده ها برابر نباشد .
• میانه حتما وجو ددارد ؛ همیشه ودر هر شرایطی میانه داریم .
• زمانی که داده ها هم برابرند ، میانه با یکی ازآن ها برابر می شوند .

1. چارک ها : ( _{Q1 , Q2 , Q3 , Q4}    )

• Q₁  :   داده ای که  25 درصد از آن کوچکتر و 75 درصد از آن بزرگترند .
• _Q2 : _{داده ای که 50 درصد داده ها از آن کوچکتر و 50 ئرصد از آن برزگتر ند Q2همان میانه است .}
• _Q3 : _{داده ای که 75 درصد داده ها از آن کوچکتر و 25 درصد دادها از آن بزرگترند .}
• _Q4 : داده ای که تمام داده ها از آن کوچکترند . Q4 همان بزرگترین داده  یا MAX است .

ویژگیهای چارک ها :

• چارک ها تمام ویژگی های میانه را دارند.
• میانه و چارک ها با تعداد داده ها مرتبط مرتبط هستند نه با با مقدار داده ها .

1. نمودار جعبه ای :

• نمودار جعبه ای نشان دهنده ی تمرکز یا پراکندگی داده هاست . نشان می دهد که بیش تر داد ها در نزدیکی MIN؛ MAX ویا عددی خاص تمرکز دارند .
• ابزار مورد نیاز رسم نمودار جعبه ای :

• MIN ؛ چارک اول  ؛ میانه ( چارک دوم  ) ؛ چارک سوم ؛ MAX ( چارک چهارم )

1. میانگین :

• میانگین ؛ همان معدل داده هاست .

میانگین را می توان به دو نوع حسابی و وزن دار دسته بندی نمود .

• میانگین حسابی : زمانی است که فراوانی یا تکرار هر داده 1 باشد .
• میانگین وزن دار : زمانی است که فراوانی بیش از 1 داشته باشیم .

• کاربرد میانگین در مسائل  :

• در این مساله ها عبارت « به طور متوسط » به معنای میانگین است .
• میانگین ادغامی
• روش سریع محاسبه ی میانگین ( استفاده از میانگین حدسی )

• ویژگی های میانگین :

• میانه منحصربه فرد است ؛ فقط و فقط یک مقدار برای میانگین داریم .
• میانه می تواند متعلق به جامعه نباشد ؛ گاهی مقدار عددی میانگین با مقدار مقدار هیچیک از داده ها برابر نیست .
• میانگین همیشه بین کم ترین بیش ترین مقدار داده هاست .
• میانگین وسط مقدار داده هاست ؛ همان مقداری که داده ها از میانگین اضافی دارد ، همان مقدار هم کم دارند .
• میانگین از داده های پرت تاثیر می پذیرد .

*  نقاط ضعف شاخص های مرکزی :

*  مد : به جز مقداری  که بیش ترین فراوانی را دارد ، اطلاعاتی در مورد سایر داده ها به ما نمی دهد .

* میانه : در مورد نحوه ی توزیع در داده های کم تر و بیشتر از میانه اطلاعاتی نمی دهد .

* میانگین : به شدت تحت تاثیر داده های پرت قرار دارد .

1. دامنه تغییرات
2. چارک های بالا و پائین
3. واریانس
4. انحراف معیار
5. ضریب تغییرات

1. دامنه تغییرات :

در فصل 4 توضیح داده شد .

1. چارک های بالا و پائین :

زمانی که داده های پرت  داشته باشیم . از روش حذف چارک های بالا و پائین استفاده می کنیم . تا جامعه یک دست  تر از شده و بتوانیم تحلیل درست تری داشته باشیم .

توجه : در برخی موارد ، بسته به اندازه ی جامعه ( تعداد داده ها ) و میزان نزدیکی داده ها به هم ؛ ممکن است  یک دهم داده ها از بالا و پائین حذف شوند .

1. واریانس / پرش

روش محاسبه :

1. اگر  فراوانی داده ها برابر یک باشد .

• برای محاسبه واریانس ؛ محاسبه میانگسن است .و حال برای محاسبه واریانس استفاده کنیم .

1. اگر  فراوانی داده ها برابر دو  باشد .

• گام اول : محاسبه میانگین 
• گام دوم : محاسبه واریانس

نکته : در گام دوم واریانس به دست آمده اعشاری می باشد .

• گام سوم  کتاب کوچک هدفدار  مولف ( هدا سردار زاده ) صفحه ی 100 مراجعه کنید .

ویژگی های واریانس  :

1. همواره وجو دارد .
2. منحصر به فرد است .
3. همواره  نا منفی است .
4. اگر تعداد داده ها با هم برابر باشند ، واریانس صفر می شود .
5. واحد واریانس ، مجذور واحد داده هاست .

تاثیر ضرب  و جمع اعداد ثابت با داده ها بر واریانس :

• تاثیر ضرب در عدد :

اگر تمام اعداد را در یک عدد ضرب کنیم ، واریانس در مجذور آن عدد ضرب می شود .

• تاثیر جمع عدد ثابت :

جمع یک عدد ثابت با تمام داده ها تاثیری بر واریانس ندارد .

3. –  انحراف معیار

• ابتدا  محاسبه ی میانگین 
• محاسبه ی واریانس
• جذر گرفتن از واریانس

ویژگی های انحراف معیار :

• همواره وجود دارد
• منحصر به فرد است .
• همواره نامنفی است .
• واحد آن با واحد داده ها برابر است .
• اگر تمام داده ها با هم برابر باشد ، انحراف معیار صفر می شود .

ضریب تغییرات :

• ضریب تغییرات میزان پراکندگی به ازای یک واحد میانگین است .
• به عبارت دیگر خارج قسمت تقسیم  انحراف معیار بر میانگین .
• موارد استفاده :

• مقایسه پراکندگی دو یا چند گروه از داده ها که واحد یکسانی ندارند . مثل مقایسه پراکندگی قد و وزن دانش آموزان یک کلاس .

• برای بدست آوردن ضریب تغییرات مراحل زیر را انجام می دهین :

• پس اول بابیستی میانگین را بدست آوریم .
• سپس واریانس را حساب کنیم .
• حال را واریانس را جذرگرفته تا انحراف معیار بدست آید .
• مقدار بدست آمده  برای انحراف معیار و میانگین را در فرمول  ضریب تغییرات جایگذاری  می کنیم .

• ویژگی های ضریب تغییرات :

• همواره نامنفی است .
• منحصر به فرد است .
• اگر داده ها با هم برابر باشند ، ضریب تغییرات صفر می شود .
• -واحد ندارد